LUISS

Programma

Programma completo

Programma dettagliato del II Semestre

Calcolo Integrale

Integrale indefinito
Primitive di funzioni elementari
Primitive delle funzioni razionali
Integrazione per sostituzione
Integrazione per parti
Integrale definito: Definizione
Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (con dimostrazione)
Calcolo di aree

Successioni e Serie Numeriche

Limiti di successioni e proprietà
Successioni notevoli
Serie numeriche: definizione
Convergenza di una serie
Condizione necessaria per la convergenza
Esempi di serie notevoli: serie geometrica, serie armonica, serie telescopiche
Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto asintotico, criterio del rapporto
Criterio di Leibniz per serie a termini di segno alterno
Convergenza assoluta ed implicazioni

Algebra Lineare

Definizione di Spazio Vettoriali
Operazioni di somma tra vettori: proprietà
Operazioni di moltiplicazione per uno scalare: proprietà
Esempi di spazi vettoriali: lo spazio R^n
Regola del parallelogramma
Spazio vettoriale generato da un insieme di vettori
Vettori linearmente dipendenti ed indipendenti
Rango di un insieme di vettori
Base e dimensione di uno spazio vettoriale
Il prodotto interno in R^n: proprietà
La disuguaglianza di Schwarz (con verifica in R^2)
Ortogonalità in R^2 ed in R^n
La norma in R^n: proprietà
La disuguaglianza triangolare
Area del parallelogramma
Matrici
Somma e prodotto tra matrici
Determinante e caratteristica di una matrice
Inversa e trasposta di una matrice
Autovalori ed autovettori di una matrice (definizione e cenni)
Sistemi lineari
Metodi di risoluzione
Discussione di sistemi lineari parametrici: Il Teorema di Rouché-Capelli

Funzioni in più variabili
Cenni di topologia in R^n
Curve di livello e restrizione di una funzione ad una retta
Definizione di limite
Continuità
Derivata derivata parziale direzionale
Derivabilità, differenziabilità
Funzioni di classe C^1, teorema del differenziale totale e calcolo del piano tangente
Proprietà del gradiente: direzione di massima crescita, ortogonalità alle curve di livello, calcolo della derivata direzionale
Derivate parziali seconde, funzioni di classe C^2, teorema di Schwarz e matrice hessiana
Studio della convessità attraverso la matrice hessiana
Massimi e minimi per problemi liberi: teorema di fermat, condizione necessaria e sufficiente del secondo ordine e esempi
tudio dei casi di matrice hessiana semidefinita: metodi che si basano sulla definizione, sulla restrizione a curve, sulla convessità/concavità locale e esempi
Massimi e minimi per problemi vincolati: un vincolo di uguaglianza e moltiplicatori di lagrange, esercizi con più vincoli di disuguaglianza (rette?) e restrizione al bordo.

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