Programma delle lezioni (II Semestre)

(soggetto a possibili variazioni in base ad esigenze didattiche)

Sommatorie, serie e integrali
Simbolo di sommatoria ed esempi. Interpretazione della sommatoria come area (col segno) sottesa da una funzione.
Cambiamento di indice. Somma dei termini di una progressione aritmetica, calcolo della somma.
Somma dei termini di una progressione geometrica, calcolo della somma.
La serie come limite di sommatorie per N che tende ad infinito. Interpretazione della sommatoria come area (col segno) sottesa da una funzione su una regione illimitata.

La successione delle somme parziali associata ad una serie data. Carattere di una serie tramite la successione delle somme parziali.
Proprietà delle serie analoghe a quelle delle sommatorie
Criteri per determinare il carattere di una serie.
Condizione necessaria: termine generale infinitesimo. Esempio in cui ciò non è sufficiente: la serie armonica.
Serie a termini positivi: sono sempre regolari; criterio del rapporto; criterio del confronto e del confronto asintotico.
Esempi. Criterio di Leibniz per le serie a segno alterno. Serie notevoli: serie geometrica e serie armonica generalizzata, serie telescopiche.

Problema: calcolo della aree sottese dai grafici. Metodo euristico: approssimare la funzione con funzione costanti a tratti (di cui sappiamo calcolare l’area come visto sopra) e poi trovare il limite per il diametro della suddivisione che tende a zero.
Definizioni: somme di Riemann; funzioni integrabili secondo Riemann; integrale di Riemann.
Classi di funzioni integrabili secondo Riemann. Proprietà degli integrali analoghe alle sommatorie, positività e monotonia.
Problema del calcolo: Definizione di primitiva di una funzione e di integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo integrale e calcolo di integrali definiti semplici. Tabella di primitive e alcuni esempi. Metodo di integrazione per linearità, per sostituzione, per parti. Integrali generalizzati ed esempi.

Algebra lineare – 1
Definizione di vettore. Componenti di un vettore, spazio R^N, vettori fondamentali. Relazioni tra vettori: uguaglianza e disuguaglianza, ordinamento (stretto > e largo ≥) : gli ordinamenti non sono totali.
Operazioni sui vettori: somma, moltiplicazione per uno scalare, loro proprietà e loro interpretazione grafica ed economica ed esempi; R^N come spazio vettoriale.
Combinazione lineare di vettori; esempi ed interpretazione grafica ed economica.

Sottospazi generati da un insieme di vettori. Esempi nel caso di un vettore e di due vettori non multipli fra loro. Definizione di spazio generato da un insieme di vettori. Definizione di sottospazio vettoriale. Sottospazi vettoriali in R^2 : le rette passanti per l’origine o i piani. Interpretazione finanziaria dei problemi con l’esempio delle operazioni finanziarie; analisi di alcuni esempi di analisi di portafoglio. Prodotto interno, interpretazione grafica ed economica e sue proprietà. Ortogonalità. Norma e distanza.
Definizioni: vettori LD e LI. Rango di un insieme di vettori. Base di un sottospazio vettoriale.

Matrici e nomenclatura (dimensioni delle matrici, insieme delle matrici ), matrice trasposta, sottomatrici. Matrici quadrate, diagonale principale, particolari matrici quadrate (diagonali, scalari, identità, triangolari superiori e inferiori, simmetriche).
Operazioni sulle matrici. Somma e Moltiplicazione per uno scalare che godono delle stesse proprietà viste per i vettori.
Prodotto tra matrici usando il prodotto interno. Esempio di prodotto. Matrici conformabili. Proprietà del prodotto. Il prodotto tra matrici quadrate di ordine n. Inversa di una matrice Teorema: Se l’inversa esiste è unica. Esempi di matrici non nulle invertibili ed esempi di matrici non nulle non invertibili.

Algebra lineare – 2
Matrici e funzioni lineari. Corrispondenza biunivoca tra funzioni lineari da RN in RM a matrici. CE, insieme degli zeri (nucleo) e codominio di una funzione lineare. Il codominio come spazio generato dalle colonne della matrice associata. Operazioni tra funzioni lineari e operazioni tra le matrici corrispondenti. Il prodotto tra matrici corrisponde alla composizione tra funzioni.

Rango di una matrice come dimensione dell’immagine. Metodi per il calcolo del rango: metodo di riduzione e metodo dei determinanti. Determinante di matrici (quadrate). Definizione nel caso n = 2; interpretazione geometrica (area); il caso n =3 (e n >3): volume (o ipervolume) del solido generato. Proprietà del determinante. Metodi di calcolo con la formula di Laplace . Esempi di calcolo di determinante con e senza parametri.
Il determinante non nullo equivale a LI delle colonne (o righe) ed equivale a rango massimo. Il determinante non nullo equivale all’invertibilità. Autovalori ed autovettori. Diagonalizzazione di matrici simmetriche.

Calcolo del rango di matrici tramite i minori (determinanti di sottomatrici quadrate).
Teorema: Il rango è k se e solo se esiste un minore di ordine k non nullo e tutti i minori di ordine superiore sono nulli. Metodo in salita (Kronecker).
Teorema: Se esiste un minore di ordine k non nullo e tutti i minori di ordine k+1 che lo orlano sono nulli allora rango è k. Esempi con il metodo in salita.

Equazioni lineari in più variabili: definizione, notazione vettoriale. Interpretazione grafica dell’insieme delle soluzioni come retta del piano. In generale l’insieme delle soluzioni è un sottospazio vettoriale se il termine noto è nullo. Interpretazione grafica delle soluzioni di una equazione lineare.
Sistemi lineari (SL) in più variabili. Definizione, notazione matriciale compatta, notazione vettoriale come sistema di equazioni lineari scritte in forma vettoriale. Esistenza di soluzioni per i SL. Teorema di Rouché-Capelli (RC); Applicazioni ed esempi.

Funzioni di più variabili – 1
Le funzioni di più variabili. Dominio e campo di esistenza (CE): esempi di come si determina un CE e di come si traccia nel piano. Grafico e curve di livello di una funzione in più variabili. Elementi di topologia: intorni, punti interni, esterni, di frontiera, insiemi chiusi, aperti, limitati, compatti, convessi.

Operazioni sulle funzioni. In particolare: funzioni composte a più variabili. Proprietà di funzioni: limitatezza, convessità e concavità, estremi globali. Proprietà locali. Limiti e continuità per funzioni di più variabili e teoremi sulla continuità delle funzioni elementari e delle loro somme, prodotti.

Derivate parziali, gradiente, differenziabilità, piano tangente ed esempi.
Interpretazione geometrica del gradiente: massima crescita e ortogonale alle curve di livello.
Matrice Hessiana, e suo calcolo. Simmetria della matrice Hessiana. Legame con la convessità e concavità di una funzione.

Forme quadratiche e matrici simmetriche. Studio del segno tramite gli autovalori e opportune condizioni sui coefficienti e sul determinante. Esempi.

Introduzione ai problemi di massimo e minimo. Come determinare massimi e minimi liberi e locali tramite:
1) Condizioni necessarie del primo ordine; 2) Condizioni necessarie del secondo ordine; 3) Condizioni sufficienti del secondo ordine.

Funzioni di più variabili – 2
Massimi e minimi liberi metodi per riconoscere che un punto stazionario libero è di minimo locale:
1) Condizioni sufficienti secondo ordine; 2) Condizioni necessarie del secondo ordine; 3) Restrizione ad una retta passante per il punto stazionario; 4) Uso della definizione; 5) Concavità e convessità.

Massimi e minimi vincolati; esempi di problemi di massimo e minimo vincolati tratti dall’economia.
Teorema di Lagrange sulle condizioni necessarie del primo ordine. Metodi per trovare massimi e minimi vincolati; esempi ed applicazioni.