Programma dettagliato del I Semestre 2010/2011

• Numeri
  Introduzione al corso. Elementi di Logica e richiami teoria degli insiemi (simboli).
  Numeri Numeri naturali, interi. Numeri razionali ed irrazionali. Rappresentazione dei numeri razionali. Classi
  di equivalenza. Numeri reali. Reali algebrici e trascendenti.
  Insiemi limitati superiormente ed inferiormente, maggioranti e minoranti. Massimo e minimo.
  Estremo superiore ed inferiore. Intervalli ed intorni. Punti di accumulazione e isolati. Punti esterni,
  interni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Definizione di funzione. Immagine, controimmagine,
  dominio e codominio.
• Funzioni
  Esempi di funzioni in economia. Grafico di una funzione. Parita`, disparita` e positivita` di una
  funzione. Funzioni elementari. Ricerca del dominio di una funzione. Somma, differenza e prodotto di funzioni. Composizione di
  funzioni. Funzioni inettive, suriettive e biiettive. Funzioni invertibili. Funzioni inverse. Successioni.
  Funzioni monotone. Limitatezza di funzioni. Massimi e minimi relativi ed assoluti. Concavità e convessità in un punto e in un intervallo.
  Introduzione al concetto di limite. Proprieta` locali e globali. Funzioni convergenti, divergenti. Asintoti
  verticali ed orizzontali.
  Limite destro e limite sinistro (con interpretazione grafica). Limite di successioni.
• Limiti
  Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Limiti delle funzioni elementari. Metodo di calcolo e
  risoluzione di forme indeterminate. Limite del rapporto di polinomi. Limiti Notevoli.
  Ordine di infinito ed infinitesimo. Principio di sostituzione di infiniti ed infinitesimi. Metodo del
  cambio di variabile. Teorema di unicità del limite (con dimostrazione). Teorema della permanenza del
  segno (con dimostrazione). Teorema del confronto. Teorema dei carabinieri.
• Continuita`
  Funzioni continue. Interpretazione grafica. Continuità in un punto ed in un intervallo. Continuità a
  destra e a sinistra. Classificazione dei punti di discontinuità.
  Continuità delle funzioni elementari. Operazioni sulle funzioni continue. Teoremi locali sulle funzioni
  continue.
  Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema di continuita` della funzione inversa.
• Derivabilita`
  Rapporto incrementale. Interpretazione geometrica del rapporto incrementale. Derivata di una funzione
  in un punto. Interpretazione geometrica della derivata. Esempi.
  Funzione derivata. Derivate successive. Continuita` delle funzioni derivabili (con dimostrazione),
  esempi e controesempi. Derivate destra e sinistra. Derivata delle funzioni elementari.
  Regole di derivazione (somma e prodotto, quoziente e composizione, tutte con dimostrazione).
  Esercizi derivate.
  Teorema di Rolle (con dimostrazione), Cauchy e Lagrange (con dimostrazione). Loro interpretazione
  grafica. Teorema di De L’Hospital con esempi. Risoluzione di forme indeterminate.
• Ricerca Punti di Estremo e di Flesso
  Criteri per la crescenza e decrescenza delle funzioni derivabili (con dimostrazione). Condizioni
  necessarie e condizioni sufficienti per la ricerca degli estremi delle funzioni derivabili (con
  dimostrazione).
  Esercizi ricerca massimi e minimi.
  Criteri per la concavità e la convessità delle funzioni derivabili. Punti di flesso. Condizioni necessarie e
  condizioni sufficienti per la ricerca dei punti di flesso delle funzioni derivabili.

• Sviluppo di Taylor
  Differenziale di una funzione ed interpretazione grafica. Approssimazione di una funzione tramite il
  differenziale. Esempi. Sviluppo in serie di Taylor.