LUISS

Programma

Programma dettagliato delle lezioni
(soggetto a possibili variazioni in base ad esigenze didattiche)

  • Numeri
    Introduzione al corso. Elementi di Logica e richiami teoria degli insiemi (simboli).
    Numeri Numeri naturali, interi. Numeri razionali ed irrazionali. Rappresentazione dei numeri razionali. Classi
    di equivalenza. Numeri reali. Reali algebrici e trascendenti.
    Insiemi limitati superiormente ed inferiormente, maggioranti e minoranti. Massimo e minimo.
    Estremo superiore ed inferiore. Intervalli ed intorni. Punti di accumulazione e isolati. Punti esterni,
    interni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Definizione di funzione. Immagine, controimmagine,
    dominio e codominio.
  • Funzioni
    Esempi di funzioni in economia. Grafico di una funzione. Parita`, disparita` e positivita` di una
    funzione. Funzioni elementari. Ricerca del dominio di una funzione. Somma, differenza e prodotto di funzioni. Composizione di
    funzioni. Funzioni inettive, suriettive e biiettive. Funzioni invertibili. Funzioni inverse. Successioni.
    Funzioni monotone. Limitatezza di funzioni. Massimi e minimi relativi ed assoluti. Concavità e convessità in un punto e in un intervallo.
    Introduzione al concetto di limite. Proprieta` locali e globali. Funzioni convergenti, divergenti. Asintoti
    verticali ed orizzontali.
    Limite destro e limite sinistro (con interpretazione grafica). Limite di successioni.
  • Limiti
    Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Limiti delle funzioni elementari. Metodo di calcolo e
    risoluzione di forme indeterminate. Limite del rapporto di polinomi. Limiti Notevoli.
    Ordine di infinito ed infinitesimo. Principio di sostituzione di infiniti ed infinitesimi. Metodo del
    cambio di variabile. Teorema di unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto. Teorema dei carabinieri.
  • Continuita`
    Funzioni continue. Interpretazione grafica. Continuità in un punto ed in un intervallo. Continuità a
    destra e a sinistra. Classificazione dei punti di discontinuità.
    Continuità delle funzioni elementari. Operazioni sulle funzioni continue. Teoremi locali sulle funzioni
    continue.
    Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema di continuita` della funzione inversa.
  • Derivabilita`
    Rapporto incrementale. Interpretazione geometrica del rapporto incrementale. Derivata di una funzione
    in un punto. Interpretazione geometrica della derivata. Esempi.
    Funzione derivata. Derivate successive. Continuita` delle funzioni derivabili (con dimostrazione),
    esempi e controesempi. Derivate destra e sinistra. Derivata delle funzioni elementari.
    Regole di derivazione (somma e prodotto, quoziente e composizione).
    Esercizi derivate. Teorema di Rolle, Cauchy e Lagrange. Loro interpretazione grafica. Teorema di De L’Hospital con esempi. Risoluzione di forme indeterminate.
  • Ricerca Punti di Estremo e di Flesso
    Criteri per la crescenza e decrescenza delle funzioni derivabili (con dimostrazione). Condizioni
    necessarie e condizioni sufficienti per la ricerca degli estremi delle funzioni derivabili.
    Esercizi ricerca massimi e minimi.
    Criteri per la concavità e la convessità delle funzioni derivabili. Punti di flesso. Condizioni necessarie e
    condizioni sufficienti per la ricerca dei punti di flesso delle funzioni derivabili.
  • Calcolo integrale
    Il problema del calcolo della aree sottese dai grafici. Metodo euristico: approssimare la funzione con funzione costanti a tratti (di cui sappiamo calcolare l’area come visto sopra) e poi trovare il limite per il diametro della suddivisione che tende a zero.
    Definizioni: somme di Riemann; funzioni integrabili secondo Riemann; integrale di Riemann.
    Classi di funzioni integrabili secondo Riemann. Proprietà degli integrali analoghe alle sommatorie, positività e monotonia.
    Problema del calcolo: Definizione di primitiva di una funzione e di integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo integrale e calcolo di integrali definiti semplici. Tabella di primitive e alcuni esempi. Metodo di integrazione per linearità, per sostituzione, per parti.
  • Algebra lineare
    Definizione di vettore. Componenti di un vettore, spazio R^N, vettori fondamentali. Relazioni tra vettori: uguaglianza e disuguaglianza, ordinamento (stretto > e largo ≥) : gli ordinamenti non sono totali.
    Operazioni sui vettori: somma, moltiplicazione per uno scalare, loro proprietà e loro interpretazione grafica ed economica ed esempi. Combinazione lineare di vettori; esempi ed interpretazione grafica ed economica. Definizione di spazio generato da un insieme di vettori. Prodotto interno ed ortogonalità. Norma e distanza.
    Definizioni: vettori LD e LI. Rango di un insieme di vettori.

    Matrici e nomenclatura (dimensioni delle matrici, insieme delle matrici ), matrice trasposta, sottomatrici. Matrici quadrate, diagonale principale, particolari matrici quadrate (diagonali, scalari, identità, triangolari superiori e inferiori, simmetriche).
    Operazioni sulle matrici. Somma e Moltiplicazione per uno scalare che godono delle stesse proprietà viste per i vettori.
    Prodotto tra matrici usando il prodotto interno. Esempio di prodotto. Matrici conformabili. Proprietà del prodotto. Il prodotto tra matrici quadrate di ordine n.

    Rango di una matrice come dimensione dell’immagine. Metodi per il calcolo del rango: metodo di riduzione e metodo dei determinanti. Determinante di matrici (quadrate). Definizione nel caso n = 2; interpretazione geometrica (area); il caso n =3 (e n >3): volume (o ipervolume) del solido generato. Proprietà del determinante. Metodi di calcolo con la formula di Laplace . Esempi di calcolo di determinante con e senza parametri.
    Il determinante non nullo equivale a LI delle colonne (o righe) ed equivale a rango massimo. Il determinante non nullo equivale all’invertibilità. Autovalori ed autovettori. Diagonalizzazione di matrici simmetriche. Calcolo del rango di matrici tramite i minori (determinanti di sottomatrici quadrate). Teorema: Il rango è k se e solo se esiste un minore di ordine k non nullo e tutti i minori di ordine superiore sono nulli.

    Equazioni lineari in più variabili: definizione, notazione vettoriale. Interpretazione grafica dell’insieme delle soluzioni come retta del piano. Sistemi lineari (SL) in più variabili. Esistenza di soluzioni per i SL. Teorema di Rouché-Capelli (RC). Applicazioni ed esempi.

  • Funzioni di più variabili
    Le funzioni di più variabili. Dominio e campo di esistenza (CE): esempi di come si determina un CE e di come si traccia nel piano. Proprietà locali. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Derivate parziali, gradiente, piano tangente. Matrice Hessiana, e suo calcolo. Simmetria della matrice Hessiana. Legame con la convessità e concavità di una funzione. Massimi e minimi liberi metodi per riconoscere che un punto stazionario libero è di minimo locale: Condizioni sufficienti del secondo ordine. Esempi ed applicazioni.
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