LUISS

Programma

Argomenti Preliminari

Operazioni aritmetiche, frazioni, fattorizzazione, prodotti notevoli, fattorizzazione di forme quadratiche, radici ed esponenti, equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, equazioni e disequazioni razionali, sistemi di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, valore assoluto, equazioni e disequazioni con valori assoluti, esponenziale e logaritmo e loro proprieta`, equazioni e disequazioni con esponenziali e logaritmi.

Introduzione
L’analisi matematica ed il concetto di limite, approssimazione dell’area del cerchio, calcolo della tangente, velocita` istantanea e tasso istantaneo di variazione di una quantita`, paradossi di Zeno del limite della successione e somma di una serie.

Proposizioni ed Insiemi
Proposizioni e teoremi, negazione di una proposizione, proposizioni equivalenti, implicazione logica e proprieta` fondamentale dell’implicazione, somma e prodotto di proposizioni. Insiemi, appartenenza e non appartenenza, rappresentazione di un insieme, insieme universale ed insieme vuoto, quantificatori universali ed esistenziali. Relazione di inclusione, insiemi uguali, insiemi disgiunti e congiunti. Definizione di intersezione, unione e differenza di insiemi. Definizione di relazione di complemento e prodotto cartesiano. Diagrammi di Eulero-Venn. Proprieta` (con dimostrazione) di inclusione, intersezione, unione, differenza, complementare. Proprieta` distributive di unione ed intersezione, regole di De Morgan.

Insiemi Numerici
Numeri naturali. Somma e prodotto di numeri naturali, proprieta` di somma e prodotto, elemento neutro ed inversi rispetto alla somma e prodotto. Numeri interi relativi, e numeri razionali. Problema dell’esistenza degli incommensurabili, numeri irrazionali, dimostrazione dell’incommensurabilita` della diagonale del quadrato di lato unitario. Numeri reali, proprieta` di continuita` della retta reale. Densita` dei razionali in se` e densita` dei razionali nei reali. Intervalli e semirette. Insiemi superiormente ed inferiormente limitati, maggioranti e minoranti, massimo e minimo. Estremo superiore ed inferiore. Punti di accumulazione e punti isolati, insieme derivato. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi.

Funzioni e Proprieta`
Definizione di funzione e rappresentazione con diagrammi. Dominio, codominio, immagine e controimmagine. Grafico. Funzioni definite a pezzi. Simmetria e funzioni pari e dispari. Funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni elementari: funzioni affini, valore assoluto, funzioni potenza con esponente intero e razionale, funzioni potenza con esponente irrazionale, funzioni esponenziale e
logaritmiche, funzioni trigonometriche. Dominio e ricerca del dominio di una funzione. Trasformazioni di funzioni: traslazione, compressione, simmetria, somma e prodotto, composizione. Funzioni inverse, condizioni di invertibilita`, grafico e determinazione della funzione inversa.

Limiti e Continuita`
Definizione di limite ed esempi, limiti da destra e da sinistra, limiti infiniti e limiti all’infinito. Definizione rigorosa di limite. Proprieta` dei limiti, forme indeterminate e calcolo dei limiti. Teoremi del confronto, dei carabinieri, della permanenza del segno (con dimostrazione), dell’unicita` del limite (con dimostrazione). Ordine di infinito e di infinitesimo. Continuita`, continuita` da destra e da sinistra, continuita` delle funzioni elementari e della composizione. Dimostrazione della continuita` della composizione, Teorema dei valori intermedi e Teorema di esistenza degli zeri. Continuita` della funzione inversa.

Derivate
Problema della tangente, rapporto incrementale e definizione della derivata, equazione della retta tangente. Derivate destra e sinistra. Derivate di ordine superiore. Condizione necessaria di derivabilita`. Dimostrazione della condizione necessaria di derivabilita`. Esempi di funzioni non derivabili, formule di derivazione. Dimostrazione di alcune formule di derivazione. Punti di massimo e minimo globale e locale. Teorema di Weierstrass. Teorema di Fermat. Dimostrazione del Teorema di Fermat. Ricerca dei punti di estremo globale. Teorema di Rolle con dimostrazione. Teorema di Lagrange con dimostrazione. Derivabilita` della funzione inversa. Legame tra monotonia e segno della derivata. Uso della derivata per determinare i punti di estremo locale e gli intervalli di monotonia. Concavita` e convessita` e punti di flesso. Uso della derivata seconda per determinare gli intervalli di concavita` e convessita` ed i punti di flesso. Studio del grafico di una funzione. Condizioni sufficienti di ordine superiore per l’esistenza di punti di estremo e di flesso. Teorema di De l’Hospital e risoluzione di forme indeterminate. Approssimazione lineare e differenziale, sviluppo di Taylor.

Funzioni Esponenziale e Logaritmica
Definizione di funzione esponenziale per approssimazione. Proprieta` della funzione esponenziale. Funzione logaritmica e proprieta`. Esponenziale e logaritmo naturale. Derivate delle funzioni esponenziale e logaritmica naturali. Differenziazione implicita e Teorema della funzione implicita. Derivate della funzione esponenziale e logaritmo.

Integrazione
Integrazione definita. Costruzione dell’integrale definito e approssimazione con somme di Riemann. Funzioni integrabili e non integrabili. Integrale di Cauchy. Proprieta` dell’integrale definito. Integrazione indefinita e ricerca delle primitive. Il Teorema Fondamentale del Calcolo. Dimostrazione del Teorema Fondamentale del Calcolo. Formule di integrazione ed integrali immediati. Integrazione per parti e per sostituzione. Definizione integrale delle funzioni esponenziale e logaritmo.

Successioni e Serie
Successioni e limiti. Monotonia e limitatezza di successioni. Teorema di convergenza monotona. Serie, somme parziali. Serie convergenti e divergenti. Somma di una serie. Serie geometriche ed armoniche. Condizione necessaria di convergenza. Operazioni sulle serie. Test di convergenza per serie a termini positivi: criterio del confronto e del limite. Serie a termini di segno alterno. Convergenza di serie a termini di segno alterno. Convergenza assoluta. Criteri del rapporto e della radice. Convergenza condizionale e riordinamenti. Serie di potenze, convergenza e raggio. Serie di Taylor.

Introduzione all’Algebra Lineare
Modelli lineari. Modello Input/Output di Leontief. Matrici, scalari, sottomatrici e vettori. Operazioni tra matrici e vettori. Combinazioni lineari, sistemi di generatori. Prodotto matrice-vettore e prodotto scalare. Proprieta` del prodotto matrice-vettore e del prodotto scalare.

Sistemi di Equazioni Lineari
Sistemi di equazioni lineari, consistenza ed unicita` delle soluzioni. Operazioni elementari e teorema di equivalenza. Forma Triangolare Superiore e Forma Triangolare Superiore Ridotta. Teorema di Gauss ed algoritmo di Gauss-Jordan. Rango e nullita` di una matrice. Teorema di unicita` ed esistenza delle soluzioni di un sistema lineare. Teorema di Cramer.
Sistemi di Generatori,Sottospazio generato da un insieme di vettori, generatori. Lineare dipendenza ed indipendenza. Minimalita` di un sistema di generatori. Lineare indipendenza e rango. Come identificare i vettori ridondanti in un sistema di generatori non minimale.
Matrici e Determinanti, Prodotto tra matrici e proprieta`. Matrice inversa. Condizioni di invertibilita` di una matrice. Algoritmo per determinare la matrice inversa. Determinante di una matrice 2×2. Definizione di determinante. Matrici triangolari. Determinante ed operazioni elementari. Proprieta` dei determinanti. Teorema di Cramer rivisitato.

Funzioni di Piu` Variabili
Funzioni di piu` variabili. Dominio, grafico e curve di livello. Limiti e continuita`. Derivate parziali. Derivate parziali del secondo ordine e Teorema di Schwarz. Punti di estremo locale e globale. Condizioni necessarie del primo ordine e punti stazionari. Punti di estremo locale e condizioni sufficienti del secondo ordine. Ottimizzazione vincolatae e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

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